京都大学 1994年度後期・文系数学後期第5問解答・解説

問題

2次式 $f (x) = 3 x^{2} + 2 a x + 1$ に対し， $\int_{- 2}^{2} (x + 2) f (x) d x = 4 \int_{c}^{2} f (x) d x$ を満たす $c$ が $- 2 < c < 2$ の範囲に存在することを示せ．

出典：京都大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第5問

方針

両辺を積分して $c$ の三次式 (H $c$ ) に直す。係数 $a$ の符号に応じて (H(-2),H(0),H(2)) の符号を選び、連続性から開区間内の零点を示す。

解答

積分を計算すると

\int_{- 2}^{2} (x + 2) f (x) d x = 40 + \frac{32 a}{3}

である。また

4 \int_{c}^{2} f (x) d x = 4 {10 + 4 a - c^{3} - a c^{2} - c}

である。したがって問題の等式は

H (c) = c^{3} + a c^{2} + c - \frac{4 a}{3} = 0 (1)

と同値である。

$H$ は連続であり、

H (- 2) = \frac{8 a}{3} - 10, H (0) = - \frac{4 a}{3}, H (2) = 10 + \frac{8 a}{3}

である。

$a > 0$ なら $H (0) < 0 < H (2)$ であるから、 $0 < c < 2$ に (1) の解がある。 $a < 0$ なら $H (- 2) < 0 < H (0)$ であるから、 $- 2 < c < 0$ に解がある。 $a = 0$ なら $c = 0$ が解である。いずれの場合も $- 2 < c < 2$ を満たす $c$ が存在する。

京都大学 1994年度後期・文系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

京都大学 1994年度
後期・文系数学後期第5問