京都大学 1994年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で，円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ の外部にある点 $P (a, b)$ を考える．
点 $P$ から円 $C$ に引いた2つの接線の接点を $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ とし，線分 $Q_{1} Q_{2}$ の中点を $Q$ とする．
点 $P$ が円 $C$ の外部で， $x (x - y + 1) < 0$ を満たす範囲にあるとき，点 $Q$ の存在する範囲を図示せよ．

出典：京都大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

方針

接点弦の方程式 $a x + b y = 1$ を導き、その中点が原点からこの直線へ下ろした垂線の足であることを使う。(Q= $u, v$ ) とすると (P= $u, v$ / $u^{2} + v^{2}$ ) となるため、外部条件と不等式を $u, v$ に移す。

解答

$Q_{1} = (x_{1}, y_{1})$ を接点とする。半径 $O Q_{1}$ と接線 $P Q_{1}$ は直交するから

x_{1} (a - x_{1}) + y_{1} (b - y_{1}) = 0

である。 $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 1$ より $a x_{1} + b y_{1} = 1$ を得る。 $Q_{2}$ も同じ式を満たすので、接点弦 $Q_{1} Q_{2}$ は $a x + b y = 1$ である。

その中点 $Q$ は円の中心から接点弦へ下ろした垂線の足である。(Q= $u, v$ ) とおくと

(u, v) = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} (a, b)

であり、逆に

(a, b) = \frac{1}{u ^{2} + v ^{2}} (u, v)

となる。 $P$ が円の外部にある条件 $a^{2} + b^{2} > 1$ は

0 < u^{2} + v^{2} < 1

に対応する。

さらに (a $a - b + 1$ <0) に上式を代入し、正数 $(u^{2} + v^{2})^{2}$ を掛けると

u {u - v + u^{2} + v^{2}} < 0

を得る。したがって求める範囲は単位円の内部から原点を除いた部分のうち

{u > 0, q u a d v > u + u^{2} + v^{2}, u < 0, q u a d v < u + u^{2} + v^{2}

を満たす領域である。境界は $u = 0$ と、

u^{2} + v^{2} + u - v = 0

すなわち中心 ((-1/2,1/2))、半径 $1/ 2$ の円であり、いずれの境界も含まない。単位円内で、 $u > 0$ 側ではこの円の上側、 $u < 0$ 側ではこの円の下側を図示すればよい。

京都大学 1994年度後期・文系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

京都大学 1994年度
後期・文系数学後期第3問