問題
平面上の2曲線
について，とが相異なる4つの交点を持つような実数の範囲を求めよ．
出典：京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
交点の座標だけで条件を表す。からをへ代入すると，交点数は4次関数と水平線の交点数になる。したがっての3つの零点を求め，増減と極値を調べる。相異なる4交点になるには，左側の極小値より上，中央の極大値より下に水平線がある必要があり，端点では接するため除外する。
解答
上では である。これをへ代入すると となる。したがって である。
ここで とおく。が1つ決まればも1つに決まるので，との相異なる交点の個数は，方程式 の相異なる実数解の個数と一致する。
微分すると であり， である。よって臨界点は である。これらを小さい順に並べると である。
まず である。次に，はを満たすので である。したがって より となる。よって であり， である。 の符号は，左から順に と変わる。したがっては，で極小，で極大，で極小をとる。
4次関数のグラフは両端で上に向かう。水平線が4つの相異なる交点をもつには，左側の極小値より上にあり，かつ中央の極大値より下にあることが必要十分である。端点では重なった交点が生じ，相異なる4点にはならない。
よって求める範囲は である。