京都大学 1994年度
文系数学 第3問

解答

点$P(a,b,c)$が$S_1$上にある条件は $a^2+b^2+(c-1{)}^2=1$ であり，$S_2$上にある条件は $a^2+(b-1{)}^2+c^2=1$ である。両式を引くと $b^2+(c-1{)}^2-(b-1{)}^2-c^2=0$ となる。これを整理すると $-2c+2b=0$ であるから $b=c$ を得る。

この値を球面条件へ戻すと $a^2+b^2+(b-1{)}^2=1$ であり，すなわち $a^2+2b^2-2b=0$ である。

次に，点$P(a,b,c)$から平面$x-z=0$までの距離を$d$とすると $d=\frac{|a-c|}{\sqrt{2}}$ である。半径$1/2$の球を，中心から距離$d$の平面で切った円の半径が$\sqrt{2}/4$であるから，直角三角形の関係より ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=d^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2$ となる。したがって $d^2=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$ であり，$\frac{(a-c{)}^2}{2}=\frac{1}{8}$ だから $|a-c|=\frac{1}{2}$ である。

すでに$c=b$なので $|a-b|=\frac{1}{2}$ である。場合に分ける。 $a-b=1/2$，すなわち$a=b+1/2$のとき，${\left(b+\frac{1}{2}\right)}^2+2b^2-2b=0$ より $3b^2-b+\frac{1}{4}=0$ となる。この判別式は $(-1{)}^2-4\cdot 3\cdot \frac{1}{4}=-2$ なので実数解をもたない。 $a-b=-1/2$，すなわち$a=b-1/2$のとき，${\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2+2b^2-2b=0$ より $3b^2-3b+\frac{1}{4}=0$ となる。これを解くと $b=\frac{3\pm \sqrt{6}}{6}=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{6}}{6}$ である。さらに$a=b-1/2$，$c=b$だから

または

である。

よって求める値は

である。