問題
さいころを回続けて投げるとき，回目に出る目の数をとし，とする．が7で割り切れる確率をとする．
(1) をを用いて表せ．
(2) を求めよ．
出典：京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
和そのものではなく，7で割った余りが0かどうかだけを追う。が7の倍数なら次に1から6を足しても7の倍数にはならない。逆に余りがのいずれかなら，7の倍数に戻す出目はちょうど1通りである。この2事実からを作り，定数解を引いて等比数列に直す。
解答
(1)
を7で割った余りで考える。
まずが7で割り切れるとする。このとき次に足されるはのいずれかなので，は7で割り切れない。
次に，が7で割り切れないとする。を7で割った余りをとすれば，はのいずれかである。が7で割り切れるには となればよい。この条件を満たすはの1通りで，しかもである。
したがって，が7で割り切れない確率のうち，さらに確率でが7で割り切れる。よって である。
(2)
1回だけ投げたとき，出目はからまでなので である。(1)の漸化式を と書く。この漸化式の一定値をとすると より である。したがって となる。
これを繰り返すと であり，だから である。よって を得る。