京都大学 1993年度後期・文系数学後期第5問解答・解説

問題

点 $O$ を中心とする半径1の球面上に3点 $A$ ， $B$ ， $C$ がある．線分 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ の中点をそれぞれ $P$ ， $Q$ ， $R$ とする．線分 $O P$ ， $O Q$ ， $O R$ のうち少なくとも1つは長さが $\frac{1}{2}$ 以上であることを証明せよ．

出典：京都大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第5問

方針

各点の位置ベクトルを単位ベクトルとみなし、中点までの距離を内積で表す。3本すべてが $1/2$ 未満と仮定すると3組の内積の和が小さくなりすぎ、 $∣ a + b + c ∣^{2} ≧ 0$ に反する。

解答

点 $A, B, C$ の位置ベクトルを $a, b, c$ とする。半径が1だから

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1.

中点 $P$ の位置ベクトルは $(b + c) /2$ である。

3本とも長さが $1/2$ 未満であると仮定する。すると

\frac{b + c}{2} < \frac{1}{2}

より $∣ b + c ∣^{2} < 1$ 、従って

2 + 2 b \cdot c < 1, b \cdot c < - \frac{1}{2} .

同様に

c \cdot a < - \frac{1}{2}, a \cdot b < - \frac{1}{2} .

したがって

∣ a + b + c ∣^{2} = 3 + 2 (a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) < 0

となり矛盾する。よって $O P, O Q, O R$ の少なくとも1本は長さ $1/2$ 以上である。

京都大学 1993年度後期・文系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

京都大学 1993年度
後期・文系数学後期第5問