京都大学 1993年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

$n$ を4以上の自然数とする． $(1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4})^{n}$ を展開したときの $x^{4}$ の係数を求めよ．

出典：京都大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

$x^{4}$ の係数は、4を $n$ 個の非負整数へ分ける方法数である。総和が4なので各指数は自動的に4以下となり、区別する箱への重複組合せとして数える。

各因子から選ぶ指数を $e_{1}, \dots, e_{n}$ とすると、求める係数は

e_{1} + \dots + e_{n} = 4, e_{i} ≧ 0

を満たす整数の組の個数である。総和が4だから $e_{i} ≦ 4$ は自動的に満たされる。

4個の同じものを $n$ 個の区別された組へ分ける方法数は、4個の印と $n - 1$ 個の仕切りの並べ方に等しい。よって係数は

_{n + 3} C_{4}

である。