京都大学 1993年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を次のように定義する．

⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{n + 1} (n = 1, 2, \dots\dots)

このとき，各自然数 $n$ に対して不等式 $a_{n} ≦ \frac{4}{n}$ が成り立つことを証明せよ．

出典：京都大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

数学的帰納法を用いる。 $n = 1, 2$ を確認し、 $n ≧ 2$ では仮定を漸化式へ代入した上界が $4/ (n + 1)$ 以下であることを差で確かめる。

まず $a_{1} = 1 ≦ 4$ である。また $a_{2} = 1 ≦ 2$ である。

$n ≧ 2$ で $a_{n} ≦ 4/ n$ と仮定すると

a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{n + 1} ≦ \frac{2}{n} + \frac{1}{n + 1} .

ここで

\frac{4}{n + 1} - (\frac{2}{n} + \frac{1}{n + 1}) = \frac{n - 2}{n ( n + 1 )} ≧ 0

だから $a_{n + 1} ≦ 4/ (n + 1)$ である。従って数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について

a_{n} ≦ \frac{4}{n}

が成り立つ。