問題
空間において，平面に含まれる凸四辺形とに含まれない点を考える．，，，の重心をそれぞれ，，，とする．また，線分，，，の中点をそれぞれ，，，とする．
(1) 四辺形と四辺形はどちらも平行四辺形であることを示せ．さらに，これらは次の意味で相似である，すなわち正の定数が存在して，，，であることを示せ．
(2) 四辺形と，平行四辺形の面積の比を求めよ．
出典：京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
重心と中点を位置ベクトルで表し，辺ベクトルを直接比較する。， のように対応する辺がすべて同じ向きで比 になるため，両方が平行四辺形で相似であることが分かる。面積は，中点四辺形 が元の凸四辺形 の半分であることを示し，さらに相似比 の2乗を掛ける。
解答
(1)
位置ベクトルを点名と同じ文字で表す。三角形の重心より
である。したがって
である。同様に
であるから，四辺形 は平行四辺形である。
また，中点の定義から
である。よって
となる。したがって も平行四辺形である。
さらに対応する辺を比べると
である。よって問題文の意味で相似であり， である。
(2)
まず中点四辺形 の面積を調べる。対角線 を引くと，三角形 で はそれぞれ の中点なので である。同様に三角形 で である。したがって は，底辺を とし，高さが三角形 と の高さの和の半分になる平行四辺形である。ゆえに である。
(1)より と の相似比は なので，面積比は である。したがって となる。
よって求める面積の比は である。
別解。面積部分は座標で確認してもよい。平面 内で を原点に取り， を座標で表す。四辺形の面積公式を使うと， の面積は の面積のちょうど半分になる。あとは が を相似比 で縮めた平行四辺形であることから，同じく が従う。