問題
実数，に対し，関数を次のように与える．
すべてのに対して不等式が成立するような点の範囲を図示せよ．
出典：京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
とおくと 上の2次関数 の値域条件に変わる。上に開く2次関数なので最大値は端点で決まり，最小値は頂点 が区間内にあるかどうかで分かれる。端点条件から上限 を作り，最小値条件を と に分け，最後に上下限が重なる範囲を図示する。
解答
とおくと， であり， より である。したがって，すべての について が成り立つ条件は，すべての について が成り立つ条件と同じである。
まず上限を調べる。 は上に開く2次関数なので，区間 での最大値は端点でとる。よって である。これは と同値であり，まとめて である。
次に下限を調べる。頂点は である。 のとき，頂点が区間内にあるので最小値は である。したがって より を得る。
一方， のとき，頂点は区間外にあるので最小値は端点の小さい方である。端点値は であるから，小さい方は である。よって すなわち である。
したがって求める範囲は および である。図示すると， では下側が放物線 ，上側が折れ線 で囲まれる部分， では2本の折れ線 ， に挟まれる部分である。境界はいずれも含む。