京都大学 1992年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$a = \frac{1 + 5}{2}$ とし，空間内の原点 $O$ と4つの点

A (1, 1, 1), B (- a^{- 1}, a, 0), C (- a, 0, a^{- 1}), D (0, - a^{- 1}, a)

について，次の問に答えよ．

(1) 4点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ は正方形の頂点であることを示せ．

(2) 四角錐 $O - A B C D$ を平面 $x = 0$ によって2つの部分 $W_{1}$ ， $W_{2}$ に分けたとき， $W_{1}$ ， $W_{2}$ の体積の比を求めよ．

出典：京都大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

$a^{2} = a + 1, a^{- 1} = a - 1$ を使って隣接辺ベクトルの長さと内積を調べる。(2)は切断面が頂点 $O$ を通るため、体積比を底面の正方形が $x = 0$ で分けられる面積比へ帰着する。

$a^{2} = a + 1, a^{- 1} = a - 1, a - a^{- 1} = 1$ を用いる。

A B = (- a, a^{- 1}, - 1), B C = (- 1, - a, a^{- 1}) .

従って

A B \cdot B C = a - 1 - a^{- 1} = 0

であり、両ベクトルの長さは等しい。また

C D = - A B, D A = - B C .

よって $A B C D$ は4辺が等しく隣接辺が直交する平行四辺形、すなわち正方形である。

平面 $x = 0$ は頂点 $O$ を通るので、2部分の体積比は底面正方形 $A B C D$ が直線 $x = 0$ で分けられる面積比に等しい。

点 $D$ は $x = 0$ 上にある。辺 $A B$ と $x = 0$ の交点を $E$ とする。 $A$ の $x$ 座標は1、 $B$ は $- a^{- 1}$ だから

\frac{A E}{A B} = \frac{1}{1 + a ^{- 1}} = \frac{1}{a} .

$x ≧ 0$ 側の底面は直角三角形 $A D E$ で、その面積の正方形全体に対する比は

\frac{1}{2} \frac{A E}{A B} = \frac{1}{2 a} .

他方は $1 - \frac{1}{2 a} = \frac{2 a - 1}{2 a}$ であり、 $2 a - 1 = 5$ である。従って小さい部分と大きい部分の体積比は

1 : 5 .