京都大学 1992年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

1から $N + 2$ $(N ≧ 2)$ までの番号のついた玉 $(N + 2)$ 個を用意し，手元に1と2の番号のついた玉をおき，残り $N$ 個の玉を箱に入れる．さらに，

「玉を1つ箱から取り出し，手元の玉2個と取り出した玉1個計3個の玉のうち最も小さい番号の玉を箱に返す」

という操作を $n$ 回くり返す $(n ≧ 1)$ ．最後に手元に残った2個の玉の番号のうち小さい方を $X$ とし，大きい方を $Y$ とする．

(1) $Y ≦ m$ である確率 $P (Y ≦ m)$ を求めよ $(m = 3, 4, \dots\dots, N + 2)$ ．

(2) $X ≦ m$ である確率 $P (X ≦ m)$ を求めよ $(m = 2, 3, \dots\dots, N + 1)$ ．

出典：京都大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

手元にはこれまで現れた玉のうち大きい2個が残る。 $Y ≦ m$ は $m$ より大きい玉を一度も引かない事象、 $X ≦ m$ の余事象は大きい玉を2個手元へ取り込む事象である。大きい玉を0個・1個だけ取り込む確率を数える。

手元の2個は、操作で現れた玉のうち番号が大きい2個である。

$Y ≦ m$ であるための必要十分条件は、番号が $m$ より大きい玉を一度も取り出さないことである。そのような玉は箱に $N + 2 - m$ 個あり、事象が続く限り個数は変わらない。従って各回に許される玉は $m - 2$ 個で、

P (Y ≦ m) = (\frac{m - 2}{N})^{n} .

$H = N + 2 - m$ , $A = m - 2$ とおく。 $X ≦ m$ は、番号が $m$ より大きい玉を手元へ取り込む回数が0回または1回である事象である。

0回の確率は $(A / N)^{n}$ である。最初の大きい玉を第 $j$ 回に引き、その後は残る $H - 1$ 個を引かない確率を足すと、ちょうど1個を取り込む確率は

j = 1 \sum n (\frac{A}{N})^{j - 1} \frac{H}{N} (\frac{A + 1}{N})^{n - j} = \frac{H {( A + 1 ) ^{n} - A ^{n} }}{N ^{n}} .

従って

P (X ≦ m) = \frac{( N + 2 - m ) ( m - 1 ) ^{n} - ( N + 1 - m ) ( m - 2 ) ^{n}}{N ^{n}} .