問題
平面ベクトル，の内積をと表わす．は平面上の一次変換とする．
(1) ，がたがいに直交する単位ベクトルとすると，は，ベクトルの組，のとり方によらないで，によってきまる値であることを示せ．
(2) 原点を通る2つの定直線とがあって，によって上の任意の点は自身に移され，上の任意の点はの中点に移されるとする．このときに対するの値を求めよ．
出典：京都大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
一次変換の行列を置き、直交単位ベクトルを角度表示して対角方向の内積和を計算する。(2)は2本の不変直線が固有方向となるため、座標の取り方によらない値をその2方向で求める。
解答
(1)
標準基底で の行列を
とする。直交単位ベクトルを
と置ける。直接計算すると
従って は によらず、一次変換 のみによって決まる。
(2)
直線 の方向ベクトルはそれぞれ により1倍、 倍される。2直線は異なるので、この2方向を基底に取った行列の対角成分は である。(1)の値は基底の取り方によらない対角成分の和だから