問題
サイコロをくり返し回振って，出た目の数を掛け合わせた積をとする．すなわち，回目に出た目の数をとすると，
(1) が3で割りきれる確率を求めよ．
(2) が4で割りきれる確率を求めよ．
出典：京都大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
積がある整数で割り切れるかどうかは，各出目に含まれる素因数の個数で決まる。(1)は3の因子を持つ出目 が一度も出ない余事象を取る。(2)は4で割り切れない場合，つまり2の因子の合計が0個または1個である場合を数える。出目 は2の因子0個， は1個， は2個として分類する。
解答
(1)
積 が3で割り切れないのは， 回すべてで3の倍数が出ない場合である。3の倍数は の2通りなので，3の倍数でない目は4通りである。よって
である。したがって である。
(2)
が4で割り切れるには，積全体に2の因子が少なくとも2個含まれればよい。逆に，4で割り切れないのは，2の因子の合計が0個または1個の場合である。
2の因子が0個であるには，すべての出目が奇数 でなければならない。その確率は である。
2の因子がちょうど1個であるには， または がちょうど1回出て，残りはすべて奇数であればよい。 または が出る確率は であり，その位置の選び方は 通りあるから，この確率は である。
以上より である。すなわち
である。