問題
(1) 直線と円の交点の座標を求めよ．
(2) 2つの実数，のうち，大きい方をで表わす．(のときは，である．)次の不等式を満たす点の存在する範囲を図示せよ．
出典：京都大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1)は と から を求め， を2次方程式の2解として出すと対称に処理できる。(2)は ， とおき， は両方が5以下， は少なくとも一方が1以上，と分解する。図示では大きい円と直線 で切った領域から，小さい円内かつ の開いた部分だけを除く。
解答
(1)
である。 を用いると だから である。
したがって は2次方程式 の2つの解である。これを解くと である。よって交点は
である。
(2)
とおく。条件 を上下に分けて考える。
まず は と同値である。すなわち である。
次に は， と の少なくとも一方が1以上であることと同値である。したがって すなわち である。
以上より，求める範囲は を満たす領域のうち， を同時に満たす開いた部分を除いたものである。
図示すると，原点中心・半径 の円の内部および周上を直線 の下側に制限し，そこから原点中心・半径1の円の内部でかつ直線 の下側にある開いた部分を取り除く。境界 ，，， は条件を満たす部分では含まれる。