京都大学 1991年度理系数学第6問解答・解説

問題

関数 $y = f (x)$ $(x ≧ 0)$ は次の条件(A)，(B)を満たしている．

(A) $f (x)$ は微分可能で $f^{'} (x)$ は連続，かつ $f (x) > 0$

(B) 正の定数 $a$ があって $\int_{0}^{x} (f (t))^{- a} d t = \int_{a}^{f (x)} (e^{- \frac{t ^{2}}{2}} + t^{- a}) d t$

(1) (B)の等式の両辺を $x$ について微分して得られる( $y$ の満たす)微分方程式を書け．また $f (0)$ の値を求めよ．

(2) 正の定数 $b$ ， $c$ があって次の不等式(イ)，(ロ)を満たしていることを示せ．

(イ) $b ≦ f^{'} (x) ≦ 1$

(ロ) $0 ≦ f (x) (\frac{1}{f ^{'} ( x )} - 1) ≦ c$

(3) $x \to \infty lim f^{'} (x)$ を求めよ．また $f^{'} (x)$ の最小値を求めよ．

出典：京都大学 1991年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

積分方程式を $x$ で微分して $f^{'} (x)$ の式を得る。そこから $f^{'} (x) > 0$ と $f^{'} (x) ≦ 1$ が分かり，さらに $u^{a} e^{- u^{2} /2}$ 型の関数が有界であることを使って下からも押さえる。極限は $f^{'} (x)$ の式と $f (x) \to \infty$ から従う。最小値は， $f (x)$ が $[a, \infty)$ を動くことを使い， $u^{a} e^{- u^{2} /2}$ の最大値を調べて求める。

解答

(1)

まず， $x = 0$ を与えられた等式に代入する。左辺は $0$ であるから $\int_{a}^{f (0)} (e^{- t^{2} /2} + t^{- a}) d t = 0$ である。被積分関数は $t > 0$ で正であり，また $f (0) > 0$ なので $f (0) = a$ でなければならない。

次に，等式の両辺を $x$ で微分する。左辺は $\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} f (t)^{- a} d t = f (x)^{- a}$ である。右辺は上端が $f (x)$ であるから $(e^{- f (x)^{2} /2} + f (x)^{- a}) f^{'} (x)$ となる。よって $f (x)^{- a} = (e^{- f (x)^{2} /2} + f (x)^{- a}) f^{'} (x)$ である。両辺を $f (x)^{- a}$ で割ると $1 = (f (x)^{a} e^{- f (x)^{2} /2} + 1) f^{'} (x)$ だから $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + f ( x ) ^{a} e ^{- f (x)^{2} /2}}$ を得る。

(2)

この式から直ちに $0 < f^{'} (x) ≦ 1$ が分かる。さらに $f^{'} (x) > 0$ より $f (x)$ は増加し， $f (0) = a$ だから $f (x) ≧ a (x ≧ 0)$ である。関数 $u^{a} e^{- u^{2} /2} (u ≧ a)$ は $u \to \infty$ で $0$ に近づき，閉区間ごとに連続であるから，上に有界である。その上界を $M$ とすれば $0 ≦ f (x)^{a} e^{- f (x)^{2} /2} ≦ M$ である。したがって $\frac{1}{1 + M} ≦ f^{'} (x) ≦ 1$ が成り立つ。よって $b = \frac{1}{1 + M}$ とおけば，条件を満たす正の定数 $b$ が存在する。

また $\frac{1}{f ^{'} ( x )} - 1 = f (x)^{a} e^{- f (x)^{2} /2}$ であるから $f (x) (\frac{1}{f ^{'} ( x )} - 1) = f (x)^{a + 1} e^{- f (x)^{2} /2}$ である。関数 $u^{a + 1} e^{- u^{2} /2} (u ≧ a)$ も上に有界であるから，その上界を $c$ とすれば $0 ≦ f (x) (\frac{1}{f ^{'} ( x )} - 1) ≦ c$ が成り立つ。

(3)

次に極限を求める。上で得た $f^{'} (x) ≧ b > 0$ より $f (x) ≧ f (0) + b x = a + b x$ であるから， $x \to \infty$ のとき $f (x) \to \infty$ である。したがって $f (x)^{a} e^{- f (x)^{2} /2} \to 0$ となり， $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + f ( x ) ^{a} e ^{- f (x)^{2} /2}}$ から $x \to \infty lim f^{'} (x) = 1$ を得る。

最後に $f^{'} (x)$ の最小値を求める。 $f^{'} (x)$ は $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + u ^{a} e ^{- u^{2} /2}}, u = f (x)$ の形であり， $f (x)$ は $a$ から増加して $\infty$ まで動く。したがって $f^{'} (x)$ の最小値は， $u ≧ a$ における $u^{a} e^{- u^{2} /2}$ の最大値から決まる。 $ϕ (u) = u^{a} e^{- u^{2} /2}$ とおく。 $u > 0$ で $\frac{ϕ ^{'} ( u )}{ϕ ( u )} = \frac{a}{u} - u = \frac{a - u ^{2}}{u}$ である。したがって $ϕ (u)$ は $0 < u < a$ で増加し， $u > a$ で減少する。 $0 < a ≦ 1$ のときは $a ≦ a$ であるから，区間 $u ≧ a$ における最大値は $u = a$ で $ϕ (a) = (a)^{a} e^{- a /2} = a^{a /2} e^{- a /2}$ である。よってこの場合の $f^{'} (x)$ の最小値は $\frac{1}{1 + a ^{a /2} e ^{- a /2}}$ である。

一方， $a ≧ 1$ のときは $a ≧ a$ であり，区間 $u ≧ a$ では $ϕ (u)$ は減少する。したがって最大値は $u = a$ で $ϕ (a) = a^{a} e^{- a^{2} /2}$ である。よってこの場合の $f^{'} (x)$ の最小値は $\frac{1}{1 + a ^{a} e ^{- a^{2} /2}}$ である。 $a = 1$ では二つの式はいずれも $\frac{1}{1 + e ^{- 1/2}}$ となり一致する。

京都大学 1991年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

京都大学 1991年度
理系数学第6問