京都大学 1991年度
理系数学 第4問

解答

まず $0<a,b<\frac{\pi }{4}$ の場合を考える。端点を含む場合は最後に扱う。

右側の不等式を示す。$h(x)=\tan x$ とおくと $h^{\prime \prime }(x)=2\tan x(1+{\tan }^{2}x)$ である。$0<x<\pi /4$ では $\tan x>0$ だから $h^{\prime \prime }(x)>0$ であり，$h(x)=\tan x$ はこの区間で下に凸である。したがって

が成り立つ。

次に左側の不等式を示す。$k(x)=\log (\tan x)$ とおく。$0<x<\pi /4$ で定義され，$k^{\prime }(x)=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}$ である。さらに $k^{\prime \prime }(x)=-\frac{4\cos 2x}{{\sin }^{2}2x}$ である。$0<x<\pi /4$ では $\cos 2x>0$ だから $k^{\prime \prime }(x)<0$ であり，$k(x)$ はこの区間で上に凸である。したがって $k\left(\frac{a+b}{2}\right)\geqq \frac{k(a)+k(b)}{2}$ である。これを指数の形に戻すと $\tan \frac{a+b}{2}\geqq \sqrt{\tan a\tan b}$ を得る。

以上より，$0<a,b<\pi /4$ では $\sqrt{\tan a\tan b}\leqq \tan \frac{a+b}{2}\leqq \frac{\tan a+\tan b}{2}$ が成り立つ。

最後に，$a=0$ または $b=0$ の場合を考える。両辺に現れる $\tan x$ は $[0,\pi /4]$ で連続であるから，上で得た不等式において $a$ または $b$ を正の値から $0$ に近づければ，同じ不等式が端点でも成り立つ。したがって $0\leqq a,b\leqq \frac{\pi }{4}$ 全体で求める不等式が成り立つ。