問題
袋の中に個の白玉と3個の赤玉がある．「袋の中の個の玉から無作為に1個を取り出し，つぎに(外部にある)白玉を1個袋に入れる」という試行をくり返す．回目の試行で赤玉をとり出す確率をとする．また回目の試行を行なう前，袋の中に赤玉が個あり，かつ回目の試行で赤玉をとり出す確率を とする．従ってである．
(1) ，，を，，で表す式(漸化式)を求めよ．
(2) をで表す式を求め，を求めよ．
方針
赤玉が一個，二個，三個残っている各状態を分けて，その直前状態の確率を導入する。 は「第 回直前に赤玉が 個残っていて，さらに第 回に赤を引く」確率なので，状態確率に戻して推移を立てる。三つの式を足すと，総確率 の漸化式だけが残る。
解答
(1)
第 回の試行の直前に赤玉がそれぞれ一個，二個，三個残っている確率を とおく。袋の中の玉の総数は常に 個であるから である。
まず赤玉が一個残る状態について考える。第 回の直前に赤玉が一個残るのは，第 回の直前に赤玉が一個残っていて白玉を引く場合，または赤玉が二個残っていて赤玉を引く場合である。したがって である。これを で表すと となる。
次に赤玉が二個残る状態について考える。第 回の直前に赤玉が二個残るのは，第 回の直前に赤玉が二個残っていて白玉を引く場合，または赤玉が三個残っていて赤玉を引く場合である。よって であり，したがって を得る。
最後に赤玉が三個残る状態について考える。これは，第 回の直前にも赤玉が三個残っていて，第 回に白玉を引いた場合だけである。白玉は 個なので であり， となる。
(2)
ここで であるから，三つの漸化式を足すと
となる。各係数はすべて にそろうので を得る。
初回は赤玉が三個残っている状態から始まるから である。したがって である。