京都大学 1991年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

$C$ を3次曲線 $y = x^{3} + 3 x^{2}$ とする． $C$ 上の点 $P (p, q)$ に対し

「 $C$ 上の点 $Q$ が存在して， $C$ の $P$ における接線は $C$ の $Q$ における接線と直交する」

となるような $p$ の範囲を求めよ．

出典：京都大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

接線の傾き $m (x) = 3 x (x + 2)$ を使い、直交条件を $m (p) m (q) = - 1$ とする。 $m (q)$ の値域が $[- 3, \infty)$ であることから、 $m (p)$ の符号別に条件を解く。

曲線の $x = u$ における接線の傾きは

m (u) = 3 u^{2} + 6 u = 3 {(u + 1)^{2} - 1}

であり、その値域は $[- 3, \infty)$ である。

点 $P$ と点 $Q$ における接線が直交する条件は

m (p) m (q) = - 1.

従って $m (p) \neq = 0$ で、 $- 1/ m (p) ≧ - 3$ である。

$m (p) < 0$ のとき $- 1/ m (p) > 0$ なので常に可能であり、

- 2 < p < 0.

$m (p) > 0$ のときは $m (p) ≧ 1/3$ が必要十分である。すなわち

3 p (p + 2) ≧ \frac{1}{3},

よって

(p + 1)^{2} ≧ \frac{10}{9} .

正の傾きとなる範囲も合わせると

p ≦ - 1 - \frac{10}{3} または p ≧ - 1 + \frac{10}{3} .

以上より求める範囲は

p ≦ - 1 - \frac{10}{3}, - 2 < p < 0, p ≧ - 1 + \frac{10}{3}

の和集合である。