京都大学 1991年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

平面上の正方形の列 $S_{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$ を次の条件①，②，③，④を満たすようにとる．

① $S_{n}$ の1つの辺は $x$ 軸に含まれる．

② $S_{n}$ の1つの頂点は双曲線 $x y = 1$ 上にある．

③ $S_{n + 1}$ は $S_{n}$ と異なり， $S_{n + 1}$ の1つの辺は $S_{n}$ のある辺に含まれる．

④ $S_{1}$ の頂点は $(0, 0)$ ， $(0, 1)$ ， $(1, 0)$ ， $(1, 1)$ である．

$S_{n}$ の頂点で $x y = 1$ 上にあるものの座標を $(x_{n}, y_{n})$ とする．このとき $x_{n}^{2} ≧ n$ となることを示せ．

出典：京都大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

各正方形は $x$ 軸の上側にあり、双曲線上の頂点を右上頂点として次の正方形が右隣へ接する。辺長は $y_{n} = 1/ x_{n}$ なので、左端の一致から $x_{n + 1} - 1/ x_{n + 1} = x_{n}$ を得る。

双曲線上の頂点は第1象限にあり、 $S_{n}$ の一辺の長さは

y_{n} = \frac{1}{x _{n}} .

$S_{1}$ は $0 ≦ x ≦ 1$ の正方形で、 $(x_{1}, y_{1}) = (1, 1)$ である。

条件より $S_{n + 1}$ は $S_{n}$ の右側の辺に接し、その右上頂点が $(x_{n + 1}, y_{n + 1})$ になる。従って

x_{n + 1} - y_{n + 1} = x_{n} .

$y_{n + 1} = 1/ x_{n + 1}$ を代入して

x_{n + 1} - \frac{1}{x _{n + 1}} = x_{n} .

特に $x_{n + 1} > x_{n} > 0$ であり、

x_{n + 1}^{2} = x_{n} x_{n + 1} + 1 ≧ x_{n}^{2} + 1.

$x_{1}^{2} = 1$ だから、数学的帰納法により

x_{n}^{2} ≧ n

が成り立つ。