京都大学 1991年度
後期・文系数学 後期 第1問

解答

位置ベクトルを ${\vec{p}}_i=\overrightarrow{O{P}_i}$ とする。$\vec{s}={\vec{p}}_1+{\vec{p}}_2$ とおけば

単位ベクトル $\vec{u},\vec{v}$ が $\vec{u}+\vec{v}=\vec{s}$ を満たすとする。$\vec{v}=\vec{s}-\vec{u}$ と $|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$ から

すなわち

従って $\vec{u}$ は単位円と1本の直線との交点であり、その2点は ${\vec{p}}_1,{\vec{p}}_2$ である。

同様に、和が $-\vec{s}$ となる単位ベクトルの組は $-{\vec{p}}_1,-{\vec{p}}_2$ に限られる。よって

従って4点は2組の対蹠点からなり、対角線がともに直径で互いに二等分する。ゆえに $P_1,P_2,P_3,P_4$ は長方形の頂点である。