問題
袋の中に個の白玉と2個の赤玉がある．「袋の中の個の玉から無作為に1個を取り出し，つぎに(外部にある)白玉を1個袋に入れる」という試行をくり返す．
● 回目の試行で赤玉をとり出す確率をとする．
● 回目の試行を行なう前，袋の中に赤玉が1個あり，かつ回目の試行で赤玉をとり出す確率をとする．
● 回目の試行を行なう前，袋の中に赤玉が2個あり，かつ回目の試行で赤玉をとり出す確率をとする．
従ってが成立している．
(1) ，を，で表す式(漸化式)を求めよ．
(2) をで表す式を求め，を求めよ．
出典：京都大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
第 回の試行の直前に赤玉が何個残っているかで場合を分ける。， は「その状態にあり，さらに第 回で赤を引く」確率なので，まず直前の状態確率に戻してから推移を数える。二つの漸化式を足すと の漸化式が一気に閉じる。
解答
(1)
第 回の試行の直前に赤玉が一個残っている確率を ，二個残っている確率を とおく。このとき，袋の中の玉の総数は常に 個であるから である。したがって と表せる。
まず，第 回の直前に赤玉が一個残っている場合を考える。これは，第 回の直前に赤玉が一個残っていて白玉を引く場合，または赤玉が二個残っていて赤玉を引く場合である。よって である。したがって を得る。
次に，第 回の直前に赤玉が二個残っているためには，第 回の直前にも赤玉が二個残っていて，第 回に白玉を引く必要がある。白玉は 個であるから であり，したがって である。
(2)
ここで とおくと，上の二つの式を足して
である。よって となる。
初回は赤玉が二個残っている状態から始まるので である。したがって等比数列の形で を得る。