京都大学 1991年度文系数学第4問解答・解説

問題

実数 $p$ ， $q$ に対し $x^{3} - p x + q = 0$ の解がすべて実数なら(すなわち虚数解を持たないなら)， $x^{3} - 2 p x^{2} + p^{2} x - q^{2} = 0$ の解もすべて実数であることを示せ．

出典：京都大学 1991年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

元の三次方程式の三つの解を $α, β, γ$ とおく。解と係数の関係から $α + β + γ$ ， $α β + β γ + γ α$ ， $α β γ$ を読み取り， $α^{2}, β^{2}, γ^{2}$ を解にもつ三次方程式を作る。得られた係数が，示すべき方程式と一致することを確認する。

解答

方程式 $x^{3} - p x + q = 0$ の三つの解を $α, β, γ$ とする。仮定より $α, β, γ$ はすべて実数である。

解と係数の関係から $α + β + γ = 0,$ $α β + β γ + γ α = - p,$ $α β γ = - q$ である。

ここで $α^{2}, β^{2}, γ^{2}$ を解にもつ三次方程式を考える。その解の和は

α^{2} + β^{2} + γ^{2} = (α + β + γ)^{2} - 2 (α β + β γ + γ α) = 0 - 2 (- p) = 2 p

である。

次に二つずつの積の和は

α^{2} β^{2} + β^{2} γ^{2} + γ^{2} α^{2} = (α β + β γ + γ α)^{2} - 2 α β γ (α + β + γ)

である。右辺に上の関係を代入すると $(- p)^{2} - 2 (- q) \cdot 0 = p^{2}$ となる。

また三つの積は $α^{2} β^{2} γ^{2} = (α β γ)^{2} = q^{2}$ である。

したがって $α^{2}, β^{2}, γ^{2}$ を解にもつ三次方程式は $x^{3} - (2 p) x^{2} + p^{2} x - q^{2} = 0$ である。これはまさに $x^{3} - 2 p x^{2} + p^{2} x - q^{2} = 0$ である。 $α, β, γ$ は実数なので， $α^{2}, β^{2}, γ^{2}$ もすべて実数である。よって与えられた方程式 $x^{3} - 2 p x^{2} + p^{2} x - q^{2} = 0$ はすべて実数解をもつ。重解がある場合も，同じ解と係数の関係で重複を含めて扱えるので結論は変わらない。

京都大学 1991年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

京都大学 1991年度
文系数学第4問