京都大学 1991年度
文系数学 第2問

解答

(1)

双曲線 $H$ 上では $y^2-x^2=b^2$ であるから $x^2=y^2-b^2$ である。これを円 $C$ の式 $x^2+(y-a{)}^2=1$ に代入すると $y^2-b^2+(y-a{)}^2=1$ すなわち $2y^2-2ay+a^2-b^2-1=0$ を得る。この左辺を $F(y)=2y^2-2ay+a^2-b^2-1$ とおく。 $H_{+}$ 上の点では $y\geqq b$ であり，さらに $y>b$ なら $x=\pm \sqrt{y^2-b^2}$ により相異なる二点が得られる。同様に，$H_{-}$ 上で相異なる二点を得るには $y<-b$ となる解が必要である。

まず $H_{+}$ と相異なる二点を共有し，かつ $H_{-}$ とも相異なる二点を共有する条件を求める。二次関数 $F(y)$ は上に開き，$y\to \pm \infty$ で $F(y)\to \infty$ となる。したがって，$y>b$ に解を持ち，かつ $y<-b$ に解を持つためには $F(b)<0,F(-b)<0$ であればよいし，また必要でもある。

実際に計算すると $F(b)=2b^2-2ab+a^2-b^2-1=(a-b{)}^2-1,$ $F(-b)=2b^2+2ab+a^2-b^2-1=(a+b{)}^2-1$ である。$a>0,b>0$ より，$F(-b)<0$ は $a+b<1$ と同値である。このとき $|a-b|<a+b<1$ だから $F(b)<0$ も自動的に成り立つ。逆に，$F(-b)<0$ は必要なので，求める範囲は $a>0,b>0,a+b<1$ である。図示すれば，第一象限内で直線 $a+b=1$ より下側の開いた三角形である。

(2)

次に，$C$ が $H_{+}$ と四つの相異なる点を共有するように $a,b$ を選べるかを調べる。これは，上の二次方程式が $b$ より大きい相異なる二つの解を持てばよい。

例えば $a=\frac{3}{2},b=\frac{2}{5}$ とする。このとき方程式は $2y^2-3y+\frac{109}{100}=0$ であり，その二つの解は $y=\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{7}}{20}$ である。小さい方の解についても $\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{7}}{20}>\frac{2}{5}$ が成り立つ。なぜなら，これは $15-\sqrt{7}>8$，すなわち $\sqrt{7}<7$ から従うからである。

したがって二つの解はいずれも $y>b$ にある。各解に対して $x=\pm \sqrt{y^2-b^2}$ の二つの相異なる $x$ が得られ，二つの $y$ も相異なる。よってこの場合，$C$ は $H_{+}$ と四つの相異なる点を共有する。

したがって答えは $\text{できる}$ である。