問題
正角形の頂点にと時計まわりに番号がつけてある．頂点0を出発点とし，サイコロを投げて出た目の数だけ頂点を時計まわりに移動し，着いた頂点の番号をとする．次にもう1度サイコロを投げて出た目の数だけ，頂点から時計まわりに移動し，着いた頂点の番号をとする．このようにして定めた確率変数，について
(1) のとき，，は互いに独立か．
(2) のとき，，は互いに独立か．
ただし確率変数，が互いに独立であるとは，となる確率とかつとなる確率との間に次の等式(＊)が任意の， について成り立つことである．
(＊)
方針
出目を法 の剰余で見る。 では、独立性を否定するには全組を調べる必要はなく、例えば の一組で等式が破れることを示せばよい。 では1回の出目が剰余 を一様にとるので、 を固定しても が一様であることから独立性を全組について示す。
解答
(1)
のとき、1回目の出目が または なら である。したがって である。
次に となる場合を数える。2回の出目の和が で割って 余ればよい。和は 、、 のいずれかであり、それぞれの出方の数は であるから、合計 通りである。よって である。
一方、 かつ となるには、1回目の出目が または で、2回目の出目も で割って 余る必要がある。したがって出方は 通りで、 である。ところが であり、これは と等しくない。よって のとき は独立でない。
(2)
のとき、1回の出目は法 で の各剰余をちょうど1回ずつとる。したがって である。
また、 が分かっているとき、2回目の出目の剰余を加えることで が決まる。2回目の出目の剰余も を一様にとるので、任意の について である。よって がすべての について成り立つ。したがって のとき は独立である。