問題
，とし，に対して，とする．
(1) のグラフをかけ．
(2) どんな についても，の解はに限ることを示せ．
出典：京都大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
と変形し、点 を中心にした増加するS字型のグラフとして特徴を整理する。反復方程式では、 の符号を見る。 なら反復のたびに値が増え、 なら反復のたびに値が減るので、もとの に戻れないことを帰納的に示す。
解答
(1)
まず である。したがって のとき であり、グラフは点 を通る。
また であるから、 は全体で単調に増加する。さらに なので、 では上に凸、 では下に凸であり、 が変曲点である。したがって、グラフは点 を通り、そこで傾き をもち、全体として増加するS字型になる。
(2)
任意の実数 について である。
まず とする。このとき であり、特に である。数列 、 を考えると、 である限り である。よって帰納的に となり、 は成り立たない。
次に とする。このとき であり、特に である。同じく とおくと、 である限り である。したがって となり、この場合も は成り立たない。
最後に では であるから、すべての について である。以上より、どんな についても の解は に限られる。