問題
2つの曲線と が1点を通り，において共通の接線をもっている．このとき
(1) の値を求めよ．
(2) 2つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．
出典：京都大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
共通接線をもつ点の 座標を とおき、関数値の一致と微分係数の一致を連立する。微分係数の一致から接点候補が二つ出るが、文系の設問では があるので一つに絞られる。面積は、接点が重解になることを確認して交点範囲を決め、上下関係を調べて積分する。
解答
(1)
共通接線をもつ点 の 座標を とする。2曲線が を通るので であり、さらに における接線の傾きが等しいので である。後式を整理すると だから より である。
関数値の一致から である。 のとき 、 のとき である。条件 より である。
(2)
のとき、2曲線の交点は すなわち で決まる。左辺は と因数分解できるので、交点の 座標は と であり、 は接点に対応する重解である。
区間 では かつ だから である。したがって求める面積は である。計算すると
となる。よって面積は である。