京都大学 1989年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$F (x) = \frac{a x}{x + 1}$ とおく．ただし， $a$ は定数で $0 < a ≦ 1$ である．関数の列 ${f_{n} (x)}$ を次によって定める．

(i) $f_{1} (x) = F (x)$

(ii) $f_{n + 1} (x) = F (f_{n} (x))$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$

(1) $f_{n} (x)$ を $a$ ， $x$ ， $n$ の式で表せ．

(2) 次の条件をみたす数列 ${b_{n}}$ を一つ作れ．( $a$ の値によって，異なる数列であってもよい．)
$[$ 条件 $]$ $c > 0$ ならば，数列 ${b_{n} \cdot f_{n} (c)}$ は正の数に収束する．

出典：京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

分数一次関数の反復は、分子分母を直接追うか逆数を取ると一次漸化式になる。まず帰納法で $f_{n}$ の閉じた形を求める。(2)は $0 < a < 1$ と $a = 1$ で減衰の速さが異なるので分け、正の有限極限を残す倍率を選ぶ。

帰納法により

f_{n} (x) = \frac{a ^{n} x}{1 + x ( 1 + a + \dots + a ^{n - 1} )}

となる。実際 $n = 1$ では成立し、この式を $F$ に代入すると

f_{n + 1} (x) = \frac{a ^{n + 1} x}{1 + x ( 1 + a + \dots + a ^{n} )}

を得る。

したがって $0 < a < 1$ なら

f_{n} (x) = \frac{a ^{n} x}{1 + x \frac{1 - a ^{n}}{1 - a}},

$a = 1$ なら

f_{n} (x) = \frac{x}{1 + n x} .

$0 < a < 1$ のとき

b_{n} = a^{- n}

と選べば、任意の $c > 0$ に対して

b_{n} f_{n} (c) ⟶ \frac{c}{1 + c / ( 1 - a )} > 0.

$a = 1$ のときは

b_{n} = n

と選べば

b_{n} f_{n} (c) = \frac{n c}{1 + n c} ⟶ 1 > 0.

よっていずれの場合も条件を満たす数列が得られた。