京都大学 1989年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$n$ は自然数で， $n ≧ 3$ である．数 $1, 2, \dots, n$ のいずれについても，それが記入されたカードが1枚ずつ，計 $n$ 枚のカードがある．
$A$ 君は，それらのカードのうち2枚を無作為に取り出し，それらに記入されている数のうち大きい方を $A$ 君の得点とする．
$B$ 君は，それらのカードから1枚を無作為に取り出し，書かれている数を確認してから，そのカードを返すことを2回くり返して，書かれている数の大きい(または小さくない)方を $B$ 君の得点とする．
$A$ ， $B$ 両君のうち得点の大きい方を勝ちとする．
$A$ 君の勝つ確率 $p$ と $B$ 君の勝つ確率 $q$ との大小を比較せよ．

出典：京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

AとBの得点分布を最大値の累積確率から求める。Aの得点が $i$ 、Bの得点が $j$ となる確率を使い、 $p = P (A > B)$ と $q = P (B > A)$ をそれぞれ有限和で計算して差を比較する。

解答

Aの得点が $i$ （ $2 ≦ i ≦ n$ ）となる確率は

P (A = i) = \frac{i - 1}{_{n} C _{2}} = \frac{2 ( i - 1 )}{n ( n - 1 )} .

Bの得点については

P (B ≦ j) = (\frac{j}{n})^{2}, P (B = j) = \frac{2 j - 1}{n ^{2}} .

したがって

p = i = 2 \sum n P (A = i) P (B ≦ i - 1) = i = 2 \sum n \frac{2 ( i - 1 )}{n ( n - 1 )} \frac{( i - 1 ) ^{2}}{n ^{2}} = \frac{n - 1}{2 n} .

一方

q = j = 1 \sum n P (B = j) P (A ≦ j - 1) = j = 1 \sum n \frac{2 j - 1}{n ^{2}} \frac{( j - 1 ) ( j - 2 )}{n ( n - 1 )} = \frac{( 3 n + 1 ) ( n - 2 )}{6 n ^{2}} .

よって

p - q = \frac{n + 1}{3 n ^{2}} > 0.

したがって

p > q

であり、A君の勝つ確率の方が大きい。

京都大学 1989年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

京都大学 1989年度
後期・理系数学後期第5問