京都大学 1989年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2}$ を $y$ 軸のまわりに回転してできる曲面があり， $y$ 軸が水平面に垂直で $y$ 軸の正の部分が上方にあるように置いてある．その曲面の中に半径 $r$ $(r > \frac{1}{2})$ の球を落とし込む．
このとき，この回転面と球面とで囲まれた部分の体積を求めよ．

出典：京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

軸を含む断面で、放物線 $y = x^{2}$ と半径 $r$ の円の接点を求める。接線の傾きから球の中心の高さと接触円の半径が決まる。囲まれた体積は、下側球面と放物面の高さの差を円環で積分する。

解答

球の中心を $(0, h)$ 、断面での接点を $(u, u^{2})$ （ $u > 0$ ）とする。円

x^{2} + (y - h)^{2} = r^{2}

の接線の傾きと放物線の傾きが等しいから

2 u = - \frac{u}{u ^{2} - h} .

よって $h - u^{2} = 1/2$ である。また接点までの距離より

u^{2} + \frac{1}{4} = r^{2} .

したがって

u^{2} = r^{2} - \frac{1}{4}, h = r^{2} + \frac{1}{4} .

回転軸からの距離を $ρ$ とすると、囲まれた部分の上面は球の下側

y = h - r^{2} - ρ^{2},

下面は $y = ρ^{2}$ であり、 $0 ≦ ρ ≦ u$ である。よって

V = 2 π \int_{0}^{u} ρ (h - r^{2} - ρ^{2} - ρ^{2}) d ρ .

$u^{2} = r^{2} - 1/4, h = r^{2} + 1/4$ を代入して計算すると

V = 2 π (\frac{r ^{4}}{4} - \frac{r ^{3}}{3} + \frac{r ^{2}}{8} - \frac{1}{192}) .

したがって

V = \frac{π}{96} (2 r - 1)^{3} (6 r + 1) .

京都大学 1989年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

京都大学 1989年度
後期・理系数学後期第2問