京都大学 1989年度後期・文理共通数学後期文系第4問・理系第4問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ は，ともに0でない実数で， $A = (a b b a)$ とおく．
$O$ を原点とする座標平面において，点 $P (x, y)$ が単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ の周上を動く．また，点 $Q (x^{'}, y^{'})$ を $(x^{'} y^{'}) = A (x y)$ によって定める．このとき， $△ O P Q$ の面積の最大値を求めよ．

出典：京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第4問・理系第4問

方針

三角形 $O P Q$ の面積を二つの位置ベクトルの行列式で表す。 $Q = A P$ を代入すると $a$ の項が消え、 $∣ x^{2} - y^{2} ∣$ の最大だけを調べればよい。

解答

点 $P = (x, y)$ に対して

Q = (a x + b y, b x + a y)

である。三角形 $O P Q$ の面積 $S$ は

S = \frac{1}{2} ∣ x (b x + a y) - y (a x + b y) ∣ = \frac{∣ b ∣}{2} ∣ x^{2} - y^{2} ∣.

単位円上では $x^{2} + y^{2} = 1$ だから

∣ x^{2} - y^{2} ∣ ≦ x^{2} + y^{2} = 1.

等号は $P = (\pm 1, 0)$ または $P = (0, \pm 1)$ のときに成り立つ。したがって求める最大値は

\frac{∣ b ∣}{2} .

京都大学 1989年度後期・文理共通数学 後期 文系第4問・理系第4問

問題

方針

解答

京都大学 1989年度
後期・文理共通数学後期文系第4問・理系第4問