京都大学 1989年度後期・文理共通数学後期文系第2問・理系第1問解答・解説

問題

二つの奇数 $a$ ， $b$ にたいして， $m = 11 a + b$ ， $n = 3 a + b$ とおく．つぎの(1)，(2)を証明せよ．

(1) $m$ ， $n$ の最大公約数は， $a$ ， $b$ の最大公約数を $d$ として， $2 d$ ， $4 d$ ， $8 d$ のいずれかである．

(2) $m$ ， $n$ がともに平方数であることはない．(整数の2乗である数を平方数という．)

出典：京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第2問・理系第1問

(1)は $d = (a, b)$ をくくり、互いに素な奇数 $α, β$ に直す。二つの線形結合から残る最大公約数が8の約数であることを示す。(2)は二つが平方数と仮定し、その差 $8 a$ を偶数の平方の差として4で割り、平方剰余の矛盾を出す。

$d = (a, b)$ とし、 $a = d α, b = d β$ とおく。 $a, b, d, α, β$ は奇数で、 $(α, β) = 1$ である。

(m, n) = d (11 α + β, 3 α + β) .

右の最大公約数を $g$ とする。二数はともに偶数なので $2 ∣ g$ である。また

(11 α + β) - (3 α + β) = 8 α .

一方 $(3 α + β, α) = (β, α) = 1$ だから、 $g ∣ 8$ である。よって $g = 2, 4, 8$ のいずれかであり、

(m, n) = 2 d, 4 d, 8 d

のいずれかである。

$m = u^{2}, n = v^{2}$ と仮定する。 $m, n$ は偶数なので $u, v$ も偶数であり、 $u = 2 r, v = 2 s$ と書ける。差を取ると

u^{2} - v^{2} = m - n = 8 a,

したがって

r^{2} - s^{2} = 2 a .

右辺は $a$ が奇数なので4で割って2余る。しかし平方数は4で割って0または1しか余らず、二つの平方数の差が4で割って2余ることはない。矛盾である。よって $m, n$ がともに平方数になることはない。