京都大学 1989年度後期・文理共通数学後期文系第3問・理系第3問解答・解説

問題

座標平面において，つぎの条件をみたす $△ A B C$ と半平面 $H = {(x, y) ∣ x ≧ 0}$ との共通部分の面積の最大値を求めよ．
$△ A B C$ は $A B = A C$ であるような二等辺三角形であって， $B C$ は $y$ 軸に平行で， $A$ の座標は $(- 1, 0)$ である．また， $A B$ と $y$ 軸との交点を $D$ とすると， $D B = 23$ である．

出典：京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第3問・理系第3問

方針

底辺 $B C$ の $x$ 座標を $p > 0$ とし、二等辺条件から $B, C$ の高さを反対符号にする。直線 $A B$ と $x = 0$ の交点を使って $D B = 23$ を式にし、半平面内の面積を $p$ 一変数で表して最大化する。

解答

面積が正になる場合を考え、 $B = (p, q), C = (p, - q)$ （ $p > 0$ ）とおく。 $A B = A C$ はこの形と同値である。直線 $A B$ の傾きを

u = \frac{q}{p + 1}

とおくと、 $D = (0, u)$ である。 $A B$ 上で $D$ から $B$ までの $x$ 座標の差は $p$ だから

D B = p 1 + u^{2} = 23 .

よって

u^{2} = \frac{12 - p ^{2}}{p ^{2}}, 0 < p ≦ 23 .

$x ≧ 0$ にある三角形の縦の切り口の長さは $2∣ u ∣ (x + 1)$ である。したがって共通部分の面積を $K$ とすると

K = \int_{0}^{p} 2∣ u ∣ (x + 1) d x = ∣ u ∣ (p^{2} + 2 p) = (p + 2) 12 - p^{2} .

平方して

K^{2} = (p + 2)^{2} (12 - p^{2}) .

$0 < p < 23$ で微分するか対数微分すると、停留条件は

12 - p^{2} = p (p + 2),

すなわち $p = 2$ である。前後で増加から減少へ変わるので最大となり、

K_{m a x} = 48 = 82 .

京都大学 1989年度後期・文理共通数学 後期 文系第3問・理系第3問

問題

方針

解答

京都大学 1989年度
後期・文理共通数学後期文系第3問・理系第3問