問題
単位をcmとする．，で表される曲線を軸のまわりに回転させて作った曲面を側面にもつような，底の平らな容器がある．ただし，上面の半径は1cm，底面の半径は5cmである．
(1) この容器に深さ6cmまで水を入れたときの水の体積を求めよ．
(2) この容器に毎秒の割合で水を入れるとき，深さ3cmのときの水面の上昇速度を求めよ．
出典：京都大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
上面と底面の半径条件から、曲線 の定数 を決める。水深 における容器の半径は なので、体積は で求める。(2)では が水面の断面積であることを使い、 と連鎖的に結びつける。
解答
上面では深さ cm、半径 cm であり、底面では深さ cm、半径 cm である。したがって曲線 は を満たす。これを解くと である。よって であり、深さ における半径 は である。
(1)
深さ6 cmまで水を入れたとき、水面の高さ は を動く。高さ の断面は半径 の円だから、体積 は である。計算すると
である。したがって である。
(2)
水深を cm、時刻を 秒とする。水量を とすると、 が少し増えたときの体積増加率は水面の断面積であり、 である。また毎秒 の割合で水を入れるので である。したがって より である。
深さ3 cm のときは なので である。よって水面の上昇速度は である。
補足。 を毎回積分し直して求める必要はなく、水面の断面積と見ればすぐに が出る。