問題
各辺の長さが2の正四面体を座標空間内で考える．辺は軸上にあって，その中点は原点と一致し，辺の中点は軸の正の部分にあるとする．また，をみたす実数について，線分をの比に内分する点を通り，に垂直な平面をとする．
(1) 2頂点，の座標を求めよ．ただし，の座標は正であるとする．
(2) 平面による正四面体の切口は，どのような平面図形か．
(3) 平面で分けられた正四面体の2つの部分のうち，原点に近い部分の体積を求めよ．
方針
条件から 、 と置き、 の中点が 軸上にあることから 、 とおく。辺の長さが2である条件で 、 を決める。平面 は水平面 なので、各側辺との交点を求めれば切口は長方形と分かる。体積は高さ の断面積 を で積分する。
解答
(1)
辺 は 軸上にあり、その中点が原点なので とおける。辺 の中点 は 軸の正の部分にあり、 の 座標が正であるから とおける。 より なので である。また より だから である。 は 軸の正の部分にあるので であり、 である。したがって である。
(2)
(1)より である。線分 を に内分する点は であり、 は 軸上にあるから、 に垂直な平面 は である。
この平面は4本の辺 と交わる。たとえば から へ進む線分上の点は と書けるので、 との交点は である。同様に4つの交点は
である。
したがって切口は、 方向の長さが で、 方向の長さが の長方形である。すなわち である。
(3)
原点に近い部分は、 の部分である。高さ で切ると、(2)と同様に断面は辺の長さ の長方形である。したがって断面積は である。
また だから、求める体積 は である。計算して
となる。よって である。
別解。正四面体全体を 軸方向に水平断面で見ると、断面は下では線分から始まり、中間で長方形になって、上では線分に縮む。この問題では の下側部分だけを積分すればよいので、断面の2辺を直接追う方法が最も短い。