問題
一辺の長さが1の正方形と，一辺の長さが2の正方形でできたタイルが多数大きな袋に入っている．でたらめにタイルを一枚取り出すとき，小さいタイルが取り出される確率を，大きいタイルが取り出される確率をとする．縦の長さが3，横の長さが6の長方形に，取り出されたタイルを敷きつめていくとき，ちょうど回でこの長方形が過不足なく敷きつめられる確率を求めよ．
方針
大きいタイルを 枚、小さいタイルを 枚使うとして、まず面積から 、総枚数 を得る。次に3×6長方形では2×2タイルが4枚以上置けないことを、縦方向の重なりから示す。一方 は実際に配置可能なので、可能な は に限られる。あとは最初の 回に大きいタイルがちょうど 回出る確率を数える。
解答
大きいタイルを 枚、小さいタイルを 枚使って敷きつめたとする。面積は であり、取り出した総枚数は である。したがって は ずつ減る形でしか現れない。
次に、可能な の範囲を調べる。縦の長さが3であるため、2×2タイルは縦方向に長さ2を占める。2つの2×2タイルの縦方向の位置は必ず重なりをもつので、重ならずに置くには横方向の幅2の区間が互いに重ならないようにする必要がある。横の長さは6だから、2×2タイルは高々3枚である。
一方、 は実現できる。たとえば2×2タイルを横に並べられるだけ並べ、残りを1×1タイルで埋めればよい。したがって だけが可能である。
それぞれの場合、総枚数 は
である。 のとき、最初の 回で大きいタイルがちょうど 回、小さいタイルが 回出ればよい。その確率は である。
したがって求める確率は
である。
補足。 は面積だけを見ると を与えるが、3×6の長方形には2×2タイルを4枚置けない。面積条件だけでなく、縦3という形の制限も使う必要がある。