京都大学 1988年度文理共通数学文系第2問・理系第2問解答・解説

問題

三角形 $A B C$ において，辺 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ をそれぞれ2:1に内分する点を $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ とし，また線分 $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} A_{1}$ をそれぞれ2:1に内分する点を $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ とする．このとき，三角形 $A_{2} B_{2} C_{2}$ は三角形 $A B C$ に相似であることを示せ．

出典：京都大学 1988年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第2問・理系第2問

方針

頂点の位置ベクトルを使い、2:1内分を2回そのまま式にする。 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ の位置ベクトルを $A, B, C$ の線形結合で表した後、辺ベクトル $A_{2} B_{2}$ 、 $B_{2} C_{2}$ 、 $C_{2} A_{2}$ を計算する。各辺が元の三角形の対応する辺に平行で長さが $\frac{1}{3}$ 倍になることを示せば相似が従う。

解答

三角形の頂点 $A, B, C$ の位置ベクトルを、それぞれ $a, b, c$ とする。

辺 $A B$ を $2 : 1$ に内分する点 $A_{1}$ は、 $A$ から $B$ に向かって $\frac{2}{3}$ 進んだ点であるから $O A_{1} = \frac{a + 2 b}{3}$ である。同様に

O B_{1} = \frac{b + 2 c}{3}, O C_{1} = \frac{c + 2 a}{3}

である。

次に、線分 $A_{1} B_{1}$ を $2 : 1$ に内分する点が $A_{2}$ なので

O A_{2} = \frac{O A _{1} + 2 O B _{1}}{3} = \frac{a + 4 b + 4 c}{9}

である。同様に

O B_{2} = \frac{4 a + b + 4 c}{9}, O C_{2} = \frac{4 a + 4 b + c}{9}

である。

したがって

A_{2} B_{2} = O B_{2} - O A_{2} = \frac{a - b}{3} = - \frac{1}{3} A B

である。また

B_{2} C_{2} = \frac{b - c}{3} = - \frac{1}{3} B C, C_{2} A_{2} = \frac{c - a}{3} = - \frac{1}{3} C A

である。

よって、三角形 $A_{2} B_{2} C_{2}$ の3辺は、三角形 $A B C$ の3辺にそれぞれ平行で、長さはいずれも $\frac{1}{3}$ 倍である。したがって $△ A_{2} B_{2} C_{2} \sim △ A B C$ である。

別解。2:1内分を行う操作は、各頂点の位置を前後の頂点の重み付き平均に置き換える操作である。この操作を2回行っても、辺ベクトルに着目すれば、各辺はもとの辺ベクトルの定数倍になる。したがって座標を具体的に置いても同じく相似比 $1 : 3$ が得られる。

京都大学 1988年度文理共通数学 文系第2問・理系第2問

問題

方針

解答

京都大学 1988年度
文理共通数学文系第2問・理系第2問