京都大学 1987年度
理系数学 第5問

解答

(1)

平面 $ax+y+z+a-2=0$ の法線ベクトルは $(a,1,1)$ である。原点に最も近い平面上の点は、原点からこの法線方向に進んだ点なので $(x,y,z)=\lambda (a,1,1)$ とおける。これを平面の式に代入すると $a(\lambda a)+\lambda +\lambda +a-2=0$ すなわち $\lambda (a^2+2)+a-2=0$ である。したがって $\lambda =\frac{2-a}{a^2+2}$ である。よって求める点は

である。

(2)

原点から平面までの距離を $d$ とする。距離の公式より $d=\frac{|a-2|}{\sqrt{a^2+2}}$ である。球の中心は原点で半径は3であるから、平面が中心から遠いほど小さい方の部分の体積は小さくなる。したがって $d$ を最大にすればよい。 $d$ の最大化は $d^2=\frac{(a-2{)}^2}{a^2+2}$ の最大化と同じである。これを $R(a)$ とおくと $R(a)=\frac{(a-2{)}^2}{a^2+2}$ であり、微分して

となる。したがって増減を調べると、$R(a)$ は $a=-1$ で最大となる。実際 $R(-1)=\frac{9}{3}=3$ であり、$a\to \pm \infty$ では $R(a)\to 1$、$a=2$ では $R(a)=0$ である。よって最大距離は $d=\sqrt{3}$ で、このとき $a=-1$ である。

半径3の球を、中心から距離 $d$ の平面で切る。小さい方の部分は高さ $h=3-d$ の球冠である。半径3の球の球冠の体積は $\pi h^2\left(3-\frac{h}{3}\right)$ である。ここで $d=\sqrt{3}$ だから $h=3-\sqrt{3}$ である。したがって

以上より $a=-1,V_{\min }=\pi (18-8\sqrt{3})$ である。