京都大学 1987年度理系数学第4問解答・解説

問題

3次関数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ( $a$ ， $b$ ， $c$ は定数)のグラフ $y = f (x)$ と，定数 $m$ とを考える．

(1) このグラフの接線で傾き $m$ のものは何本あるか．

(2) 傾き $m$ の接線が2本ある場合について，その接線 $l_{1}$ ， $l_{2}$ の接点を $P_{1}$ ， $P_{2}$ とし， $l_{1}$ ， $l_{2}$ がグラフと交わる他の点を $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ とすれば， $P_{1} Q_{1} = P_{2} Q_{2}$ であることを示せ．

出典：京都大学 1987年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

傾き $m$ の接線の接点は $f^{'} (x) = m$ の解で決まるので、(1)は2次方程式 $3 x^{2} + 2 a x + b - m = 0$ の判別式で本数を分類する。(2)では接点の $x$ 座標を $t$ とし、接線と三次曲線の交点方程式 $f (x) - f (t) - f^{'} (t) (x - t) = 0$ を因数分解する。接点以外の交点の $x$ 座標が $- 2 t - a$ になるため、接線上の距離は $∣3 t + a ∣ 1 + m^{2}$ で表せる。2つの接点の和を使って、この値が等しいことを示す。

解答

(1)

傾き $m$ の接線の接点の $x$ 座標を $t$ とする。接線の傾きは $f^{'} (t)$ であるから $f^{'} (t) = m$ が必要十分である。ここで $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ なので、接点の $x$ 座標は $3 t^{2} + 2 a t + b - m = 0$ の解である。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると $D = (2 a)^{2} - 4 \cdot 3 (b - m) = 4 (a^{2} - 3 b + 3 m)$ である。よって接線の本数は

⎩ ⎨ ⎧ 210 (a^{2} - 3 b + 3 m > 0), (a^{2} - 3 b + 3 m = 0), (a^{2} - 3 b + 3 m < 0)

である。

(2)

傾き $m$ の接線が2本あるとする。その一方の接点の $x$ 座標を $t$ とする。接点は $(t, f (t))$ であり、接線の方程式は $y = f (t) + f^{'} (t) (x - t)$ である。この接線と曲線 $y = f (x)$ との共有点の $x$ 座標は $f (x) - f (t) - f^{'} (t) (x - t) = 0$ を満たす。

左辺を計算する。 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ だから

f (x) - f (t) - f^{'} (t) (x - t) = x^{3} - t^{3} + a (x^{2} - t^{2}) + b (x - t) - (3 t^{2} + 2 a t + b) (x - t) = (x - t) {x^{2} + x t + t^{2} + a (x + t) + b - 3 t^{2} - 2 a t - b} = (x - t) {x^{2} + x t - 2 t^{2} + a x - a t} = (x - t)^{2} (x + 2 t + a) .

したがって接点以外の交点の $x$ 座標は $- 2 t - a$ である。

接線の傾きは $m$ なので、接線上で $x$ 座標が $t$ から $- 2 t - a$ に変わると、線分の長さは $∣ (- 2 t - a) - t ∣ 1 + m^{2} = ∣3 t + a ∣ 1 + m^{2}$ である。

2本の接線の接点の $x$ 座標を $t_{1}, t_{2}$ とする。これらは $3 t^{2} + 2 a t + b - m = 0$ の2つの解であるから $t_{1} + t_{2} = - \frac{2 a}{3}$ である。したがって $3 t_{1} + a = - (3 t_{2} + a)$ となり、 $∣3 t_{1} + a ∣ = ∣3 t_{2} + a ∣$ である。よって対応する距離は等しく $P_{1} Q_{1} = P_{2} Q_{2}$ である。

京都大学 1987年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1987年度
理系数学第4問