京都大学 1987年度
理系数学 第3問

解答

$t=\cos \theta$ とおく。$\theta$ がすべての実数を動くとき、$t$ は区間 $[-1,1]$ 全体を動く。また $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=2t^2-1$ だから、与えられた不等式は $a(2t^2-1)+bt<1$ すなわち $F(t)=2a{t}^2+bt-a<1$ がすべての $-1\leqq t\leqq 1$ で成り立つことと同値である。

まず端点条件を調べる。$t=1$ から $a+b<1$ を得る。また $t=-1$ から $a-b<1$ を得る。したがって $a+|b|<1$ が必要である。

【$a\geqq 0$ の場合】このとき $F(t)$ は下に凸、または1次式である。区間 $[-1,1]$ における最大値は端点のどちらかでとるので、端点条件だけで十分である。よって $a\geqq 0,a+|b|<1$ である。ただしこの不等式から自動的に $a<1$ である。

【$a<0$ の場合】このとき $F(t)$ は上に凸であり、頂点が区間内にある場合には頂点で最大値をとる。頂点は $t=-\frac{b}{4a}$ である。頂点が $[-1,1]$ に入る条件は $|b|\leqq -4a$ である。

頂点が区間内にあるとき、頂点での値は $F\left(-\frac{b}{4a}\right)=-a-\frac{b^2}{8a}$ である。したがって必要な条件は $-a-\frac{b^2}{8a}<1$ である。$a<0$ に注意して整理すると $b^2<-8a(a+1)$ となる。この右辺が正でなければならないため、この場合は $-1<a<0$ である。

端点条件と頂点条件を合わせて図示しやすい形に整理する。$-\frac{1}{3}\leqq a<0$ では、$|b|<1-a$ のもとで頂点が区間内に入っても、上の頂点条件は自動的に満たされる。実際、この範囲では $(-4a{)}^2\leqq -8a(a+1)$ である。したがって $-\frac{1}{3}\leqq a<0$ では端点条件だけでよい。

一方、$-1<a<-\frac{1}{3}$ では、端点条件を満たす点では頂点が区間内に入り、頂点条件 $b^2<-8a(a+1)$ が端点条件より強い。よって求める範囲は $-1<a<-\frac{1}{3},b^2<-8a(a+1)$ で表される部分と、$-\frac{1}{3}\leqq a<1,|b|<1-a$ で表される部分の和集合である。境界はすべて含まれない。ただし2つの部分は $a=-\frac{1}{3}$ で接続し、そのとき $|b|<\frac{4}{3}$ である。