問題
長さ1の針金を二つに切り，その一つで円周を作り，残りで2辺の長さの比が(は正の定数)の長方形を作る．
(1) この円と長方形の面積の和を最小にするためには，針金をどのように切ればよいか．
(2) をいろいろ変えたとき，(1)の円と長方形の面積の和の最小値が最大になるようなの値を求めよ．
出典：京都大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
円に使う針金の長さを と置く。円の面積は 、長方形の周は で、辺の比が なので面積は となる。まず について2次式を最小にし、その最小値 を で整理する。最後は により、 が最大になる を決める。
解答
(1)
円周に使う針金の長さを とする。すると円の半径は であるから、円の面積は である。
残りの長さは である。長方形の2辺の長さを とすると、周の長さは である。したがって より である。長方形の面積は となる。
したがって面積の和を とすると である。これは について上に開く2次式である。微分すると だから、最小となる は を満たす。これを解くと である。よって、円に使う長さを とし、長方形に使う長さを とすればよい。
(2)
(1)の最小値を求める。 を満たす を代入してもよいが、ここでは係数を整理して計算する。 の最小値は である。分母を で割ると である。 について であり、等号は のときに成り立つ。 は分母が小さいほど大きいので、 が最大となるのは のときである。