問題
正の数を用いた係数をもつ方程式の定める直線が，軸，直線と交わる点を，それぞれ，，とする．このとき，，が次の2条件をみたすような正の数の範囲を求めよ．
(1) は軸の正の部分にある．
(2) 原点と，，の3点は鈍角三角形を作る．
出典：京都大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
直線と 軸の交点 、直線 との交点 を で表す。条件 (1) からまず が出る。この範囲では となるので、 と の角は鈍角にならず、鈍角になり得るのは の角だけである。最後に を計算して を得る。
解答
与えられた直線は であるから である。ここで である。
(1)
まず 軸との交点を とする。 を代入して より である。 なので、 が 軸の正の部分にある条件は すなわち である。
(2)
次に、直線 との交点を とおく。これを与えられた直線に代入すると だから であり、 である。 のもとでは であり、さらに だから である。
三角形 のどの角が鈍角になり得るかを内積で調べる。まず
なので であり、角 は鈍角ではない。また
だから であり、角 も鈍角ではない。
したがって鈍角三角形になるには、角 が鈍角であればよい。これは であることと同値である。ここで
だから
である。 より、角 が鈍角である条件は である。 を用いると であり、これは すなわち を意味する。
以上より、求める の範囲は である。