問題
4人でジャンケンをし，負けたものが順次去って，残りでジャンケンをして，勝者が一人になるまで続けるものとする．また，4人はそれぞれ独立に，グー(石)，チョキ(はさみ)，パー(紙)を確率で出すものとする．
(1) 1回でゲームが終了する確率および2回目の勝負が人()で行われる確率を求めよ．
(2) 2回でこのゲームが終了する確率を求めよ．
方針
1回のじゃんけん後に残る人数を に分類する。4人の出し方は 通りで、2種類の手だけが出たときは勝った手を出した人数が次回の人数になる。全員同じ手、または3種類すべての手が出た場合は誰も去らず4人のままである。(2)では、2回目に 人で始めたとき1人だけが残る確率を として、 を計算する。
解答
(1)
4人の1回の出し方は全部で 通りである。
1回でゲームが終了するのは、1人だけが勝つ手を出し、残り3人がそれに負ける手を出す場合である。勝つ手の種類は3通りで、その勝つ手を出す人の選び方は4通りだから 通りである。したがって である。
2回目が2人で行われるのは、勝つ手を出す人が2人、負ける手を出す人が2人の場合である。勝つ手の種類が3通り、勝つ手を出す2人の選び方が 通りなので 通りである。よって である。
2回目が3人で行われるのは、勝つ手を出す人が3人、負ける手を出す人が1人の場合である。これは 通りなので である。
2回目も4人で行われるのは、誰も負けない場合である。これは、全員が同じ手を出す場合、または3種類の手がすべて出る場合である。上の結果を全体から引けば
である。
(2)
人で1回じゃんけんをして、その1回で1人だけが残る確率を とする。2人の場合は、2人が異なる手を出せば必ず1人が勝つので である。3人の場合は、1人だけが勝つ手を出し、残り2人が負ける手を出す場合であり である。4人の場合は先ほどの と同じで である。
2回でゲームが終了するためには、1回目ではまだ1人に決まらず、2回目で1人に決まればよい。したがって である。これを代入すると
よって である。