京都大学 1986年度
理系数学 第6問

解答

交点のうち上側の点を $P=(x,y)(y>0)$ とする。条件 $OP\perp O^{\prime }P$ より $(x,y)\cdot (x-1,y)=0$ であるから $x^2-x+y^2=0$ である。また $P$ は円 $C$ 上にあるので $x^2+y^2=r^2$ である。これらを比べて $x=r^2$ を得る。したがって $y^2=r^2-r^4=r^2(1-r^2)$ であり，$y>0$ だから $P=(r^2,r\sqrt{1-r^2})$ である。下側の交点 $Q$ は $x$ 軸対称な点である。

ここで $r=\cos \varphi ,\sqrt{1-r^2}=\sin \varphi ,0<\varphi <\frac{\pi }{2}$ とおく。四辺形 $OP{O}^{\prime }Q$ は対角線 $O{O}^{\prime }$ の長さが $1$，対角線 $PQ$ の長さが $2r\sqrt{1-r^2}$ で，この二つは直交する。よって面積は $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2r\sqrt{1-r^2}=\sin \varphi \cos \varphi$ である。

次に二円の共通部分 $D\cap D^{\prime }$ の面積を求める。円 $C$ では，半径 $OP,OQ$ のなす中心角は $2\varphi$ なので，対応する扇形の面積は ${\cos }^2\varphi \cdot \varphi$ である。円 $C^{\prime }$ の半径は $O^{\prime }P=\sin \varphi$ であり，中心 $O^{\prime }$ での半角は $\frac{\pi }{2}-\varphi$ なので，対応する扇形の面積は ${\sin }^2\varphi \left(\frac{\pi }{2}-\varphi \right)$ である。二つの扇形を足すと，共通部分に加えて三角形 $OP{O}^{\prime }$ と $OQ{O}^{\prime }$ の面積分が含まれる。この二つの三角形の合計面積は四辺形 $OP{O}^{\prime }Q$ の面積と同じ $\sin \varphi \cos \varphi$ である。したがって

である。

求める面積を $A(\varphi )$ とすると，四辺形から共通部分を除くので

である。

これを微分すると $A^{\prime }(\varphi )=\cos 2\varphi +\left(2\varphi -\frac{\pi }{2}\right)\sin 2\varphi$ となる。ここで $u=2\varphi -\frac{\pi }{2}$ とおくと，$-\frac{\pi }{2}<u<\frac{\pi }{2}$ であり，$A^{\prime }(\varphi )=u\cos u-\sin u$ と書ける。$0<u<\pi /2$ では $\tan u>u$ だから $u\cos u-\sin u<0$ である。$-\pi /2<u<0$ では $v=-u$ とおけば $\sin v>v\cos v$ より $u\cos u-\sin u>0$ である。

したがって $A(\varphi )$ は $0<\varphi <\frac{\pi }{4}$ で増加し，$\frac{\pi }{4}<\varphi <\frac{\pi }{2}$ で減少する。最大は $\varphi =\frac{\pi }{4}$ で生じる。このとき $r=\cos \frac{\pi }{4}=1/\sqrt{2}$ であり，最大値は

である。