京都大学 1986年度
理系数学 第4問

解答

(1)

二つの外接円の中心をそれぞれ $O,O^{\prime }$ とする。また $\overrightarrow{OA}=\vec{u},\overrightarrow{O^{\prime }{A}^{\prime }}={\vec{u}}^{\prime }$ とおく。外接円の半径はいずれも $1$ なので $|\vec{u}|=|{\vec{u}}^{\prime }|=1$ である。 $M$ は $O{O}^{\prime }$ の中点，$P$ は $A{A}^{\prime }$ の中点であるから，中点どうしを結ぶベクトルは $\overrightarrow{MP}=\frac{\vec{u}+{\vec{u}}^{\prime }}{2}$ である。したがって

となる。同様に，$B,B^{\prime }$，$C,C^{\prime }$ についても同じ議論を行えば $MP\leqq 1,MQ\leqq 1,MR\leqq 1$ である。

(2)

$△PQR$ の外接円の中心を $O_1$ とする。$O_1$ を原点に取り，$P,Q,R$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{p},\vec{q},\vec{r}$ とおく。外接円の半径が $1$ であるから $|\vec{p}|=|\vec{q}|=|\vec{r}|=1$ である。 $△PQR$ は鋭角三角形なので，外心 $O_1$ は三角形の内部にある。したがって，正の数 $\lambda ,\mu ,\nu$ を用いて $\lambda \vec{p}+\mu \vec{q}+\nu \vec{r}=\vec{0}$ と書ける。

いま $M$ の位置ベクトルを $\vec{m}$ とする。(1)より

である。もし $\vec{m}\ne \vec{0}$ なら，例えば $|\vec{m}-\vec{p}{|}^2\leqq 1=|\vec{p}{|}^2$ より $|\vec{m}{|}^2-2\vec{m}\cdot \vec{p}+|\vec{p}{|}^2\leqq |\vec{p}{|}^2$ であるから $\vec{m}\cdot \vec{p}\geqq \frac{|\vec{m}{|}^2}{2}>0$ となる。同様に $\vec{m}\cdot \vec{q}>0,\vec{m}\cdot \vec{r}>0$ である。ところが $\lambda \vec{p}+\mu \vec{q}+\nu \vec{r}=\vec{0}$ と $\vec{m}$ の内積を取ると

となり，左辺は正の数の和になって矛盾する。よって $\vec{m}=\vec{0}$ であり，$M=O_1$ である。

このとき $M$ は $△PQR$ の外接円の中心で，半径は $1$ なので $MP=MQ=MR=1$ である。(1)の等号が $P,Q,R$ のすべてで成り立つ。たとえば

であるから，三角不等式の等号条件より $\vec{u}$ と ${\vec{u}}^{\prime }$ は同じ向きで，長さも同じなので $\vec{u}={\vec{u}}^{\prime }$ である。$Q,R$ についても同じことが成り立つ。

つまり，$O$ から $A,B,C$ へ向かう三つのベクトルと，$O^{\prime }$ から $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ へ向かう三つのベクトルと，$M$ から $P,Q,R$ へ向かう三つのベクトルは，対応してすべて等しい。したがって対応する辺の長さがすべて等しく

である。