問題
個のサイコロを同時にふり，出た目の数のうちの最大のものを，最小のものをとする．
(1) を満たす整数，に対してかつとなる確率を，，で表せ．
(2) およびを求めよ．
(一般に確率変数に対してはその平均，はその分散を表す．)
出典：京都大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
(1)は ， の同時条件を，すべての出目が 以上 以下にあり，かつ端の が出る条件として包除で数える。 の場合は全て の一通りだけなので別扱いにする。(2)は ， となる確率が に近づくことを示す。比 は常に 以上 以下なので，この集中から平均と二乗平均の極限が出て，分散も求まる。
解答
(1)
まず とする。 かつ となるには，すべての出目が のいずれかであり，さらに と が少なくとも一度ずつ出ればよい。
出目が 以上 以下である出方は 通りである。このうち が一度も出ない出方は 通り， が一度も出ない出方も 通りである。両方とも出ない出方，つまり から までだけを使う出方は 通りである。したがって包除により である。 のときは，すべての出目が でなければならないので である。
(2)
まず を考える。これは，少なくとも一つ が出て，少なくとも一つ が出る確率である。包除により
である。したがって となる。
確率変数 とおくと，常に である。また事象 上では である。よって であり， となる確率は に近づく。したがって であるから である。
同様に なので であり， も に集中する。よって である。分散は だから となる。