問題
座標空間において，平面上に一辺の長さが1の正三角形がある．点，，から平面におろした垂線の足をそれぞれ，，とする．動点はからの方向へ出発し，一定の速さでの周を一周する．動点は同時にからの方向へ出発し，と同じ一定の速さでの周を一周する．線分が通過してできる曲面と，によって囲まれる立体をとする．
(1) 平面 によるの切り口はどのような図形か．
(2) の体積を求めよ．
出典：京都大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第4問・理系第2問
方針
高さ の切り口は，動く線分 を高さ比で内分する点の軌跡である。上の正三角形と下の正三角形は平行合同で， は より一つ先の対応辺を動く。各辺区間で内分点を追うと，切り口は三つの線分で囲まれる正三角形になる。辺長を，元の正三角形の隣り合う辺ベクトルの角が であることから計算し，断面積を から まで積分する。
解答
(1)
平面 への正射影で， はそれぞれ の真上にある。高さ にある線分 上の点は， の高さが ， の高さが であるから，平面上の位置として で表される点である。
動きの最初の区間では， は から へ， は から へ，同じ速さで動く。したがって高さ の切り口上では，点は から までの線分を動く。同様に次の二つの区間で，切り口は を頂点とする三角形になる。
元の正三角形の辺ベクトルを ， とする。 で，この二つのなす角は である。切り口の一辺のベクトルは であるから，その長さの二乗は である。三つの辺は同じ計算で同じ長さになり，向きも ずつ変わるので，切り口は である。
(2)
高さ における断面積は である。したがって体積 は である。計算すると
となる。