京都大学 1985年度
理系数学 第6問

解答

与えられた条件は、すべての $x\geqq 0$ について $b{\int }_a^{x}f(t)dt=xf(x)$ が成り立つということである。

まず $x=a$ を代入すると $b{\int }_a^{a}f(t)dt=af(a)$ より $af(a)=0$ を得る。したがって $a>0$ の場合には $f(a)=0$ が必要である。

次に $x>0$ で両辺を微分する。左辺の微分は $bf(x)$、右辺の微分は $f(x)+x{f}^{\prime }(x)$ だから $bf(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)$ すなわち $x{f}^{\prime }(x)=(b-1)f(x)$ である。

この式から関数形を決める。$x>0$ において

である。よって、ある定数 $C$ が存在して $x^{1-b}f(x)=C$ すなわち $f(x)=C{x}^{b-1}(x>0)$ である。

1. $a>0$ の場合

この場合は先に得た条件 $f(a)=0$ がある。ところが $f(a)=C{a}^{b-1}$ であり、$a>0$ なので $a^{b-1}\ne 0$ である。したがって $C=0$ である。ゆえに $f(x)=0(x>0)$ であり、連続性から $f(0)=0$ でもある。したがって $f(x)\equiv 0$ だけが解である。これは元の式を明らかに満たす。

2. $a=0$ の場合

この場合、$x>0$ では $f(x)=C{x}^{b-1}$ である。あとは $x=0$ で連続であることと、元の式を満たすことを調べる。 $b>1$ のとき、$x^{b-1}\to 0(x\to 0+)$ である。したがって任意の定数 $C$ に対して $f(0)=0,f(x)=C{x}^{b-1}(x>0)$ と定めれば連続である。また

であり、右辺も $xf(x)=x\cdot C{x}^{b-1}=C{x}^b$ なので元の式を満たす。 $b=1$ のとき、$x>0$ では $f(x)=C$ である。連続性により $f(0)=C$ とすればよい。このとき ${\int }_0^{x}Cdt=Cx=xf(x)$ であり、元の式を満たす。よって任意の定数 $C$ について $f(x)=C(x\geqq 0)$ が解である。 $b<1$ のとき、もし $C\ne 0$ なら $C{x}^{b-1}$ は $x\to 0+$ で有限な極限をもたない。したがって連続性のためには $C=0$ でなければならず、零関数だけが残る。

以上をまとめると、解は次の通りである。