問題
2枚の硬貨があり，1枚ずつ投げたとき表の出る確率をそれぞれ，とする．2枚同時に投げたとき，表の出た硬貨の枚数をとする．従って，確率変数は値0，1，2をとり，その確率分布は，により定まる．逆にの分布を指定したとき，その分布を与えるような，の値が存在するかどうか，また存在する場合には，どれだけあるか，次の2つの場合について答えよ．
(i) は2項分布，すなわち
ただし はあらかじめ指定した定数である．
(ii) は一様分布，すなわち
出典：京都大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
まず を で表す。指定分布が存在するなら特に と が一致しなければならないので、そこから と を決める。(i)は となり一意、(ii)は かつ が で不可能であることを示す。
解答
硬貨はそれぞれ表の出る確率が であるから、当然 である。
2枚同時に投げたとき、表の枚数 の分布は である。
(i)
指定された2項分布では である。したがって必要条件として が成り立つ。
第1式を展開すると である。ここに を代入すると を得る。
したがって は、和が 、積が の2数である。つまり は の2根である。この方程式は であるから に限られる。
実際に とすれば となる。よって存在し、その値は である。
(ii)
一様分布になるには でなければならない。特に である。第1式を展開し、第2式を代入すると より を得る。
しかし、 のもとでは であり、平方完成により である。これは に反する。したがって、一様分布を与える は存在しない。
結論として である。