京都大学 1985年度
理系数学 第4問

解答

(i)

球面(A)の中心は原点であり、半径の2乗は $\frac{r^2+2}{3}$ である。一方、平面(B) $x+y+z=r$ と原点との距離は $\frac{|r|}{\sqrt{3}}=\frac{r}{\sqrt{3}}$ であるから、その2乗は $\frac{r^2}{3}$ である。

したがって、球面と平面の共通部分 $D$ は円であり、その半径の2乗は $\frac{r^2+2}{3}-\frac{r^2}{3}=\frac{2}{3}$ である。よって $D$ は半径 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ の円である。

円上の2点間の距離は直径以下であるから、$P,Q\in D$ に対して $|\overrightarrow{PQ}|\leqq 2\sqrt{\frac{2}{3}}$ が成り立つ。

(ii)

整数解 $(x,y,z)$ があるとする。条件より $x+y+z=r,x^2+y^2+z^2=\frac{r^2+2}{3}$ である。ここで恒等式 $(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2=3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z{)}^2$ を用いると、

となる。

左辺は整数の平方の和である。平方の和が2になるには、3つの平方が $1,1,0$ でなければならない。したがって、$x,y,z$ のうち2つは等しく、残り1つはそれらより1だけ大きいか、1だけ小さい。

よって整数解は、ある整数 $k$ を用いて $(k,k,k+1)$ の並べ替え、または $(k,k,k-1)$ の並べ替えに限られる。

前者の和は $3k+1$ である。したがって $r\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ のとき $k=\frac{r-1}{3}$ となり、解は $\left(\frac{r-1}{3},\frac{r-1}{3},\frac{r+2}{3}\right)$ の並べ替えである。

後者の和は $3k-1$ である。したがって $r\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ のとき $k=\frac{r+1}{3}$ となり、解は $\left(\frac{r+1}{3},\frac{r+1}{3},\frac{r-2}{3}\right)$ の並べ替えである。 $r\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ のときは、上の2つの形のどちらの和にもならないので整数解は存在しない。

以上より、整数解は次の通りである。